9.      ARFIMA modeliai

9.1.      ARFIMA modelio apibūdinimas

Ilgos atminties laiko eilučių modeliai apibrėžiami trupmeninio diferencijavimo operatoriaus  pagalba, kur ; jie užrašomi pavidalu:

(9.1)

kur vis dar yra baltas triukšmas su dispersija . Parametras d įvertinamas kartu su dispersija.

Norint aprašyti fraktalinių eilučių savybes, apibrėžiamas binominis skleidinys:

(9.2)

kur  čia  yra gama funkcija. Tai leidžia modelį (9.2) užrašyti kitokiu pavidalu:

(9.3)

Proceso autokoreliacinė funkcija yra:

 (9.4)

Diferencijavimo parametras d randamas panaudojant  rekursiją:

(9.5)

kur.

Trupmeniškai diferencijuotas arba fraktalinis ARIMA(p,d,q), procesas apibrėžiamas taip:

(9.6)

čia  ir , operatoriai, kurie buvo apibrėžti anksčiau. Toks modelis yra vadinamas ARFIMA modeliu. Perrašius jį šiek tiek kitokia forma:

(9.7)

pasidaro aiškiau, kaip galima įvertinti modelio parametrus.

Ilgos atminties laiko eilutės prognozavimas, remiantis ARIMA(p,d,q) modeliu susiveda į koeficientų sulyginimą lygtyse:

(9.8)

ir

(9.9)

kurių pagalba gaunamos priklausomybės:

(9.10)

ir

.(9.11)

Priklausomybes galima laikyti bendrais ARMA įverčiais.