9.      ARFIMA modeliai

9.2.      Laiko eilučių diferencijavimas

Realiose situacijose dažnai laiko eilutės yra nestacionarios, todėl laiko eilučių analitikams tapo praktika laiko eilutes diferencijuoti, norint pasiekti stacionarumą. Tai reiškia pasiekti tokią eilučių formą, kad jas būtų galima identifikuoti kaip ARMA modelį. Jeigu reikia eilutes tikrai diferencijuoti, tai reiškia, kad griežtas originalas nediferencijuotos eilutės turi begalinį skirtumą. Gali kilti problemų kai kintamasis su begaliniu skirtumu yra regresuojamas su kitu tokiu kintamuoju naudojant mažiausių kvadratų metodus, kaip pavaizduota Granger ir Newbold darbuose (1974). Tai įtakojo laiko eilučių analitikus pasiūlyti, kad ekonometrikai turėtų bent pagalvoti apie jų kintamųjų diferencijavimą kuriant modelius. Šiam pasiūlymui ekonometrikai  priešinosi, manydami, jog jie gali prarasti ką nors svarbaus.

Tarkime, kad  yra eilutė, kuri apskaičiavus skirtumą d kartų duoda eilutę , kuri turi ARMA pavidalą. Eilutė  tada bus vadinama integruota eilute su parametru d ir žymima ~I(d). Jeigu  turi spektrinį tankį , tada  neturi griežtos įtakos spektrui ir  spektras yra:

(9.12)

kur  ir .

Iš čia seka, kad diferencijuojant eilutę vieną kartą, tai padaugina spektrą iš  Jei  yra griežta ARMA, tada

 kur . Jei , tai gali būti, jog eilutė yra per daug išdiferencijuota, t. y. perdiferencijuota. Iš čia seka, kad eilutės  spektras

 mažiems .

Kai  yra gautas iš formulės (9.12), o d yra trupmeninis 0<d<1, tai atitinka filtrą  kuris pritaikytas  duoda rezultatą ARMA eilutę. Jeigu   turi daugiavariantiškumą, ir diferencijavimas yra teisingas, bet jei  yra diferencijuotas, spektras tampa toks:

(9.13)

kad . (Formulė gauta iš formulės 9.12 )

Jei eilutės turi (9.12) formos spektrą, su trupmeniniu d, tada yra įmanoma pasirinkti modelį iš eilinių ARIMA (p,d,q) tipų su sveikuoju d, kuris artimai aproksimuos šį spektrą su visais dažniais, išskyrus tuos, kurie artimi nuliui. Modeliai, naudojantys trupmeninį d nebūtinai pateiks aiškias geresnės kokybės trumpalaikes prognozes, bet jie gali duoti geresnį ilgesnio laiko prognozavimą, kur tinkamas mažų dažnių modeliavimas yra esminis.

Modeliai su trupmeniniu d turi specialias ilgos atminties savybes, kurios duoda papildomą potencialą ilgalaikio prognozavimo situacijoje.