6.      Instrumentiniai kintamieji

Instrumentinių kintamųjų metodas yra skirtas atsitiktinių veiksnių modeliams, kurių kai kurie prognoziniai kintamieji koreliuoja su grupinėmis paklaidomis. Šis metodas remiasi tiktai į modelį įeinančiais kintamaisiais ir taikomas tuomet, kai yra pakankamai instrumentų. Instrumentai išreiškiami per grupinius vidurkius. Instrumentų vartojimas leidžia išvengti nesuderinamumo ir neefektyvumo problemų, kurios atsiranda, kai prognoziniai kintamieji koreliuoja su paklaidomis.

Didžiausia bėda, kuri yra ekonometrikoje, yra tikimybė nenuosekliai vertinti parametrus dėl endogeninių regresorių. Regresijoje vertinamas parametro dydis, o ne kryptis ir priežastinis ryšys, kuris reikalingas parametrų analizei.

Instrumentinė kintamųjų prognozė tai metodas nuosekliai gauti parametrų įverčius, todėl šis būdas plačiai naudojamas ekonometrijoje.

Statistikos, ekonometrikos, epidemiologijos ir susijusių disciplinų instrumentinių kintamųjų metodas naudojamas įvertinti priežastinius ryšius, kai kontroliuojami eksperimentai yra neįmanomi. Instrumentiniai kintamieji leidžia nuosekliai įvertinti, kaip regresoriai koreliuoja su paklaidomis kalbant apie regresijos santykius.

Paprastoji tiesinė regresija paprastai duoda šališkas ir nenuoseklias reikšmes. Tačiau, nuoseklūs vertinimai vis dar gali būti gauti, pasinaudojus instrumentiniais kintamaisiais, kurie patys savaime koreliuoja su endogeniniais kintamaisiais, su sąlyga, kad įvertiniai vis tiek bus gauti. Be tiesinių modelių, yra du pagrindiniai reikalavimai naudojant instrumentinius kintamuosius:

1.            Instrumentiniai kintamieji turi koreliuoti su instrumentiniais kintamaisiais.

2.            Instrumentiniai kintamieji negali koreliuoti su paklaidomis.

Tarkime turime lygtį:

(6.1)

čia y_i – priklausomas kintamasis, x_i – nepriklausomas kintamasis, ε_i – paklaida, β – skaliarinis dydis.

Ekonometrikos tikslas rasti β įvertinį. Paprastumo dėlei tarkime, kad paklaidų dispersijos vienodos ir jos (paklaidos) nekoreliuoja. Tuomet remiantis mažiausių kvadratų metodu įvertinys β išreiškiamas taip:

(6.2)

čia x, y, ε – vektoriniai dydžiai ilgio T. Kai x ir ε nekoreliuoja tam tikromis sąlygomis x vertė yra lygi nuliui, todėl prognozė yra nešališka ir nuosekli. Tačiau, kai x bei kiti dydžiai koreliuoja su paklaidomis ε, tuomet mažiausių kvadratų metodų atžvilgiu, gautas β įvertinys yra nenuoseklus ir šališkas. Tokiu atveju y gali būti prognozuojamas, tačiau jis neparodo priežastinio ryšio tarp x ir y.

Instrumentinis kintamasis z vienintelis koreliuoja su nepriklausomu kintamuoju x, bet nekoreliuoja su paklaidomis ε. Taigi dabar yra tikslas rasti z.:

(6.3)

Tarkime, kad E[ε|z] yra lygi nuliui. Tuomet β įvertinį rasime taip:

(6.4)

Taigi z ir ε nekoreliuoja ir riboje pasiekia nulį, tačiau šį modelį dar galime patobulinti.

Tarkime, kad X yra TxK matrica, o Z yra TxK instrumentų matrica, tuomet:

(6.5)