8.      Laiko eilučių analizė

8.1.      Sąvokos

Apibrėžimas. Analizuojamo atsitiktinio dydžio , stebėjimų, gautų laiko momentais
t = 1,...,T eilutė ,,...,, vadinama laiko eilute.

Apibrėžimas. Stacionarios laiko eilutės gali būti užrašomos autoregresiniais slenkančio vidurkio (ARMA) modeliais. Sakoma, kad laiko eilutė ,  yra ARMA(p,q), jei  yra stacionari ir

(8.1)

kur ,  ir . Parametrai p ir q (p, q) yra vadinami autoregresijos ir slenkančio vidurkio eilė, o  yra baltasis triukšmas su nuliniu vidurkiu ir dispersija .

Jei  vidurkis yra nenulinis, pažymime , kur ,  o tada modelį galime užrašyti:

(8.2)

Jeigu , modelis (8.1) yra vadinamas p-tos eilės autoregresiniu modeliu AR(p), kurio pavidalas:

,(8.3)

Jei , modelis (8.1) vadinamas q-tos  eilės slenkančio vidurkio modeliu MA(q), kurio pavidalas:

(8.4)

čia  ir  yra konstantos,  baltas triukšmas su nuliniu vidurkiu ir dispersija ,  ir .

Apibrėžimas. Integruotas ARMA modelis, ARIMA(p,d,q) yra ARMA modelio plėtinys įtraukiant skirtumų panaudojimą. Sakoma, kad procesas  yra ARIMA(p,d,q), jei  yra ARMA(p,q) procesas. Šį modelį galima užrašyti tokiu būdu:

(8.5)

Apibrėžimas. Trupmeniškai diferencijuotas arba fraktalinis ARIMA(p,d,q), procesas apibrėžiamas taip:

(8.6)

čia  ir , operatoriai, kurie buvo apibrėžti anksčiau. Toks modelis yra vadinamas ARFIMA modeliu.

Apibrėžimas. Vektorinis autoregresinis trupmeniškai integruotas slenkančio vidurkio modelis VARFIMA (p,d,q) formaliai gali būti užrašytas:

,(8.7)

kur  yra  vektorinis procesas,  yra  trupmeninio diferencijavimo operatorius su . Toliau darbe dydis  bus žymimas a(B).  - normalūs, vienodai pasiskirstę ir nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.  yra  dispersijų - kovariacijų matrica, , kur  yra  autoregresinių parametrų matrica ir , o  yra  slenkančio vidurkio parametrų matrica; B yra lago (vėlavimo) operatorius.

 vadinamas VARFIMA (p,,q) procesu, kur p yra autoregresinio komponento maksimali eilė, o q - slenkančio vidurkio maksimali eilė.

Vienmatis atvejis, kai  yra žinomas kaip ARIMA(p,d,q) procesas.

Apibrėžimas. Laiko eilutė  yra vadinama griežtai stacionaria, jei eilutės , , ,..., tikimybinis  elgesys yra toks pat, kaip ir eilutės , , ..., elgesys, bet kuriems laiko momentams t, t,..., bet kokiam skaičiui n = 1,2,... ir bet kokiam poslinkiui h = 0,1,2,...

Silpno stacionarumo sąlygos keliamos tik dviem pirmiesiems laiko eilutės momentams, t.y. laiko eilutės vidurkis yra konstanta ir nepriklauso nuo laiko t:

E() =  ir kovariacinė funkcija (s, t) priklauso tik nuo skirtumo :

= E visiems laiko momentams t, arba = E.

Stacionarių laiko eilučių autokoreliacinė funkcija apibrėžiama taip:

(8.8)

Autokovariacinė funkcija:

cov().(8.9)

Dalinė autokoreliacinė funkcija:

(8.10)

Apibrėžimas. ARMA(p,q) proceso stacionarumas. ARMA(p,q) modelis  yra vadinamas stacionariu, jei laiko eilutė ,  gali būti užrašyta kaip tiesinis procesas:

(8.11)

kur  ir .

ARMA(p,q) procesas yra stacionarus tik tada, kai AR polinomo

(8.12)

šaknys yra už vienetinio apskritimo ribų, t.y. tik tada, kai . Tiesinio proceso (8.11) koeficientai gali būti nustatomi sprendžiant:

.(8.13)

Apibrėžimas. ARMA(p,q) proceso apgręžiamumas. ARMA(p,q) modelis  vadinamas apgręžiamu, jei laiko eilutė  ,  gali būti užrašyta kaip

(8.14)

ARMA(p,q) modelis yra apgręžiamas tik tada, kai MA polinimo

(8.15)

šaknys yra už vienetinio apskritimo ribų. Koeficientai  išraiškoje (8.14) gali būti randami sprendžiant:

.(8.16)

Sezoninis autoregresinis slenkančio vidurkio modelis žymimas ARMA(P,Q) užrašomas  operatorine forma:

(8.17)

kur operatoriai

ir

.(8.18)

Operatorinis sezoninis autoregresinis slenkančio vidurkio modelis, pasiūlytas Box ir Jenkins (1974), žymimas , jis užrašomas tokia forma:

(8.19)

Operatorinis sezoninis autoregresinis integruotas slenkančio vidurkio modelis, pasiūlytas Box ir Jenkins (1974), žymimas , bendras jo pavidalas yra:

(8.20)

kur .

Plačiau apie šiuos ir kitus laiko eilučių modelius galima rasti.

Poslinkio atgal operatorius B:

(8.21)

Skirtumo operatorius (1-B):

(8.22)

Taigi,  Dydis k pakeičiamas į d, o  - į  ir užrašomas tokia forma:

(8.23)

 vadinamas trupmeninio diferencijavimo operatoriumi arba d eilės integruojančiu filtru. Toliau darbe jis bus žymimas .