8.      Laiko eilučių analizė

8.2.      Laiko eilutės samprata

Tam tikro atsitiktinio dydžio (kitaip tariant, kintamojo)  reikšmės stebimos laikui bėgant (žinant jo reikšmes kas minutę, dieną, mėnesį, metus...). Istorikui tai itin dažnas reiškinys. Pavyzdžiui, valstybės arba miesto gyventojų skaičiaus didėjimas, įvairių visuomenės sluoksnių socialinio aktyvumo dinamika, pramonės arba žemės ūkio plėtros rodiklių kitimas, partijų reitingo kaita ir t.t. Tokio atsitiktinio dydžio reikšmių seka (,...,) vadinama laiko eilute.

Tiriant laiko eilutes, laikoma, kad yra žinomos reikšmės  laiko momentais , o visi stebėjimai atliekami vienodais laiko intervalais, t.y. .

Stebint vieno rodiklio reikšmių kitimą, yra gaunama vienmatė laiko eilutė, o stebint vieno objekto m rodiklių reikšmių kitimą, yra gaunama daugialypė laiko eilutė.

Tarp laiko eilutės stebinių ir atsitiktinio duomenų rinkinio, naudoto regresinėje analizėje, yra du skirtumai: 1) laiko eilutės stebiniai nėra tarpusavyje nepriklausomi; 2) laiko eilutės stebiniai nėra vienodai pasiskirstę laiko ašyje, t.y. , kai .

 - vadinama tolydžia laiko eilute, kai laikas yra nenutrūkstamas. Jei laikas diskretus - eilutė vadinama diskrečia ir žymima . Tiriant įvairius procesus, dažniausiai yra analizuojamos diskrečios laiko eilutės. Apibrėžiant tokias eilutes yra svarbu fiksuoti ne tik laiko intervalą  bei stebėjimų skaičių n, bet ir pradinį laiko momentą . Norint analizę supaprastinti dažnai  prilyginamas nuliui.

Laiko eilutės gali būti momentinės (pirkėjų skaičius parduotuvėje) ir intervalinės (per mėnesį realizuotos produkcijos apimtys). Laiko eilučių analizė atliekama dviem aspektais: dažnumo srities ir laiko srities.

Modeliuose, kuriuose laiko eilučių analizė atliekama naudojant dažnumo srities metodus, laiko eilutė  yra aprašoma nepriklausomų, kosinuso ir sinuso su skirtingomis amplitudėmis, dėmenų suma:

,(8.24)

kur  - nekoreliuoti atsitiktiniai kintamieji su nuliniu vidurkiu ir dispersija .

Dažnumai  yra nustatomi mažais intervalais . Ši analizė neretai vadinama spektrine analize ir yra naudojama radioelektronikos, telekomunikacijų, elektrotechnikos moksluose.

Analizuojant laiko eilutes yra sprendžiami 3 pagrindiniai uždaviniai:

1.             Identifikacijos, t.y. modelio parametrų statistinis įvertinimas;

2.             Verifikacijos, t.y. sudaryto modelio adekvatumo patikrinimas;

3.             Prognozavimo, t.y. laiko eilutės reikšmių laiko momentais  nustatymas, kai l>n.

Modelio identifikacijos procedūra:

·                Laiko eilutės duomenų vizualizacija ir tinkamos transformacijos parinkimas (stacionariam pavidalui gauti);

·                ACF ir PACF analizė;

·                Modelio parametrų įvertinimas – įvertinami parametrai, naudojant maksimalaus tikėtinumo metodą.

Laiko eilutės stacionarumo įvertinimas - vienas pirmųjų eilučių analizės uždavinių. Nuo laiko eilutės stacionarumo priklauso vidurkio funkcijos pavidalas. Stacionariame procese laiko eilutės reikšmės kinta atsitiktinai kiekvienu momentu, tačiau vidurkis gana ilgą laiką nekinta. Nestacionarių laiko eilučių vidurkis nėra pastovus, bet ilgainiui kinta. Dažnai realiose situacijose laiko eilutės yra nestacionarios. Visada yra svarbu, kad laiko eilutė būtų stacionari siaurąja prasme, t.y. būtų išpildytos stacionarumo sąlygos vidurkio ir kovariacinės funkcijos atžvilgiu. Natūralus būdas apriboti stacionarumo efektus, yra tiesinio trendo taikymas laiko eilutės  t= 0,1,2... duomenims, naudojant paprasčiausią tiesinę regresiją. Stebimo kintamojo vidurkių kitimo tendencija yra vidurkių trendas. Trendo pavadinimas nurodo, kokią kreivę jo grafikas primena: tiesinio – tiesę, kvadratinio – parabolę ir pan.

Norint iš duomenų pašalinti trendą, yra naudojami skirtumai. Pirmasis skirtumas pašalina tiesinį trendą, antrasis gali pašalinti kvadratinį trendą ir t.t. Norint apibrėžti aukštesnės eilės skirtumus yra įvedamas postūmio atgal operatorius, kurio pagalba aukštesnės eilės skirtumai yra apibrėžiami: . Mažiau griežta operacija - d-tų skirtumų alternatyva, kuri galioja laiko eilučių stacionarumo ribose. Ši alternatyva vadinama trupmeniniu diferencijavimu ir išplečia diferencijavimo (skirtumo) operatorių iki dalinių laipsnių: , kurie dar apibrėžia stacionarų procesą, aprašantį ilgos atminties laiko eilutes (arba eilutes su ilga laikine priklausomybe).

Eilutės su ilga laikine priklausomybe pasižymi autokoreliacijomis, kurių reikšmės yra nebūtinai didelės, tačiau išlieka ilgą laiką. Ilgos atminties procesai pasireiškia hidrologijoje, aplinkotyroje.

Ilgos laikinės priklausomybės procesai, kurie remiasi trupmeniniu integravimu, pradėjo vaidinti svarbų vaidmenį laiko eilučių analizėje, kai tapo prieinamos ilgesnės laiko eilutės (finansinės).

Ilgos atminties laiko eilutės pirmą kartą buvo paminėtos Granger ir Joyeux (1980) ir Hoskings (1981) darbuose, kaip tarpinis atvejis tarp trumpos atminties ARMA tipo modelių ir pilnai integruotų nestacionarių procesų (ARIMA modelių). Toks modelis dar vadinamas fraktaliniu modeliu.

ARFIMA modelio parametrų įvertinimai gali būti suskirstyti į tuos, kurie įvertina ARFIMA modelio trupmeninio integravimo (FI) parametrą kartu su standartiniais ARMA parametrais, bei į tuos, kurie įvertina FI parametrą atskirai, palikdami bet kokius ARMA ar kitus parametrus, kad jie būtų įvertinti antrame etape.