8.      Laiko eilučių analizė

8.3.      Autoregresijos panaudojimas laiko eilučių analizei bei prognozei

Autoregresija - tai vienas iš laiko eilutės analizės metodų. Nesunku pastebėti, kad paprastai laiko eilutės reikšmės stipriai koreliuoja su prieš jas bei po jų einančiomis tos pačios laiko eilutės reikšmėmis. Tuo remiantis sudaromi autoregresijos lygtys - modeliai:

I eilės autoregresijos lygtis:

;(8.25)

II eilės autoregresijos lygtis:

;(8.26)

p-os eilės autoregresijos lygtis:

;(8.27)

čia:  - laiko eilutės reikšmės laiko momentais   - laisvasis narys,  - koeficientai, apskaičiuojami mažiausiųjų kvadratų (reg­resijos) metodu, -nekoreliuota atsitiktinė dedamoji (paklaida) su nuliniu vidurkiu. I eilės autoreg­resijos lygtis nagrinėja ryšius tik tarp gretimų laiko eilutės narių, II eilės - tarp tris gretimus laiko momentus atitinkančių laiko eilutės reikšmių ir t.t. Parinkti tinkamos eilės lygtį nėra paprasta. Sup­rantama, turint aukštesnės eilės lygtį, gaunamos tikslesnės prognozės, tačiau didelis nereikalingų parametrų skaičius, ypač tuo atveju, kai nagrinėjamoji laiko eilutė nėra ilga, netikslingas. Jeigu eilutė sudaryta iš t narių, koeficientas vertinamas iš t-p reikšmių, t. y. p reikšmių prarandama. Žinoma, kiekvienu konkrečiu atveju tenka apsispręsti (atsižvelgiama į laiko eilutės trendo formą, sezoniškumą ir t.t.). Jeigu modelis jau pasirinktas ir mažiausiųjų kvadratų metodu apskaičiuoti parametrų įverčiai, kitas žingsnis yra parametrų reikšmingumo įvertinimas. Kiekvienam parametrui, pradedant aukščiausios eilės parametru,  tikrinama hipotezė:

(8.28)

Tokį patikrinimą paprastai atlieka kiekviena regresijos procedūra. Jeigu  - yra hipotezė, apie koeficientą prie aukščiausios eilės nario, o tos hipotezės atmesti negalima, dera pasirinkti žemesnės eilės autoregresijos modelį ir iš naujo įvertinti reikalingus parametrus. Patikrinus hipotezes apie parametrų reikšmingumą, gaunamas tokio pavidalo autoregresinis modelis:

;(8.29)

čia: - numatoma laiko eilutės reikšmė laiko momentu tikrosios laiko eilutės reikšmės laiko momentais  o  - remiantis regresija įvertinti parametrai .

Vadinasi, norint prognozuoti laiko eilutės ateitį j reikšmių į priekį, naudojama tokio pavidalo lygtis:

.(8.30)

Akivaizdu, kad toks prognozavimas gali būti atliekamas tik po vieną reikšmę į priekį, t.y. pradėjus nuo j=1 ir suradus visas reikalingas tarpines reikšmes .