9.      ARFIMA modeliai

9.4.      Metodai, kurie atskleidžia ilgos atminties egzistavimą

Beran 1994 m. yra aprašęs metodus, kurie nustato ilgos atminties egzistavimą. Šiam tikslui yra naudojami grafiniai metodai, parametriniai (Whittle MT metodas) ir pusiau parametriniai metodai (GPH metodas ir lokalus Whittle metodas). Ilgos atminties parametrinių modelių parametriniai metodai įvertina d parametrą per maksimalaus tikėtinumo įvertinimą. Minėti metodai pateikia tikslesnį d įvertinimą negu kiti metodai. Pusiau parametriniai metodai, tokie kaip GPH (Geweke ir Porter Hudak, 1983), siekia įvertinti d pagal kelias ankstesnes laiko eilutės spektrinio tankio prielaidas ir be tiksliai nusakyto baigtinių parametrų modelio. GPH testas naudojamas patikrinti nulinei hipotezei ilgos atminties egzistavimo. Maksimalaus tikėtinumo metodas naudojamas įvertinti trupmeninio diferencijavimo parametrą d.

9.4.1.          GPH testas

Geweke ir Porter Hudak (1983) pasiūlė pusiau parametrinį ilgos atminties ištyrimo būdą. Tam tikras, trupmeniškai integruotas procesas , kurio spektrinis tankis yra:

(9.30)

kur  - Fourier dažnis,  - spektrinis tankis , o  - stacionarus trumpos atminties trikdymas su nuliniu vidurkiu. Harmoninių dažnių aibė žymima  ir yra lygi:

(9.31)

kur n – imties didumas. Spektriniam tankiui  pritaikius logaritmavimą, gaunama formulė:

(9.32)

Aukščiau esančią formulę (9.32) galima užrašyti alternatyvia forma:

(9.33)

Trupmeninio skirtumo parametras d gali būti apskaičiuotas iš regresinių lygčių, sudarytų iš formulės (9.33).

Geweke ir Porter Hudak (1983) parodė, kad naudojimas periodogramos įverčio , jeigu dažnių skaičius panaudotas regresijos formulėje (9.33) yra imties didumo n funkcija , kur  ir  - teigiamas sveikasis skaičius, tai mažiausių kvadratų įvertinimas , naudojant aukščiau minėtą regresiją, yra asimptotiškai normaliai pasiskirstęs didelėje imtyje:

(9.34)

kur  ir  - tai imties vidurkis , . Su nuline hipoteze, jog nėra ilgos atminties (d=0), t statistika turi ribinį standartinį normalųjį pasiskirstymą:

(9.35)